Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'(t)={\begin{pmatrix}at\cos \left(t+t_{0}\right)\\at\sin \left(t+t_{0}\right)\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a\cos \left(t+t_{0}\right)-at\sin \left(t+t_{0}\right)\\a\sin \left(t+t_{0}\right)+at\cos \left(t+t_{0}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {at\cos \left(t+t_{0}\right)}{t}}-at\sin \left(t+t_{0}\right)\\{\frac {at\sin \left(t+t_{0}\right)}{t}}+at\cos \left(t+t_{0}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x(t)}{t}}-y(t)\\{\frac {y(t)}{t}}+x(t)\end{pmatrix}}\,.$

b) Wir müssen die Bedingung

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}a{\frac {\pi }{2}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+t_{0}\right)\\a{\frac {\pi }{2}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+t_{0}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

erfüllen. Der Vektor ${}\left(2,\,3\right)$ definiert eine Gerade durch den Nullpunkt und einen eindeutigen Winkel ${}\varphi$ zwischen der ${}x$-Achse und dieser Geraden. Daher muss ${}{\frac {\pi }{2}}+t_{0}=\varphi$, also

${}t_{0}=\varphi -{\frac {\pi }{2}}\,$

sein. Der Abstand des Punktes zum Nullpunkt ist ${}{\sqrt {13}}$. Daher ist

${}a={\frac {2{\sqrt {13}}}{\pi }}\,$

und somit ist

${}v(t)={\frac {2{\sqrt {13}}}{\pi }}t{\begin{pmatrix}\cos \left(t+\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\\sin \left(t+\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)\end{pmatrix}}\,$

die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe