Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$

(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei ${}t>0$)

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

zu dieser Differentialgleichung an.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen