Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist 1 durch sin y/Aufgabe/Kommentar

Die Differentialgleichung weist getrennte Variablen auf der Form ${}h(y)={\frac {1}{\sin y}}$ und ${}g(t)=1$. In dieser Differentialgleichung taucht ${}t$ also gar nicht auf, aber wir werden sehen, dass die Lösungen dennoch von ${}t$ abhängen.

Mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen wählen wir ${}H(y)$ als eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h(y)}}=\sin(y)$. Daher ist ${}H$ von der Form ${}H(y)=-\cos(y)+c$ für eine beliebige Integrationskonstante ${}c$. Außerdem ist ${}G(t)=t+b$ eine Stammfunktion von ${}g(t)$ mit Integrationskonstante ${}b$.

Nach dem Lösungsansatz sind die Lösungen nun von der Form ${}y(t)=H^{-1}(G(t))$. Dazu müssen wir die Umkehrfunktion von ${}H$ bestimmen. Durch Auflösen von ${}H(y)=z$ nach ${}y$ ergibt sich dabei ${}y=\arccos(-z+c)=H^{-1}(z)$.

Daraus folgt ${}H^{-1}(G(t))=\arccos(-t-b+c)$. Dabei fällt auf, dass wir die Konstanten ${}b,c$ zu einer einzelnen Konstanten ${}C=-b+c$ zusammenfassen können. Insgesamt sind also die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

$y(t)=H^{-1}(G(t))=\arccos(-t+C),\quad C\in \mathbb {R} .$

Zu beachten ist hier, dass diese Lösung nur sinnvoll definiert ist, wenn ${}-1\leq -t+C\leq 1$ gilt, was eine Bedingung an ${}t$ darstellt.

Außerdem können wir uns durch Ableiten von ${}y$ von der Richtigkeit der Lösung überzeugen. Dabei kann Fakt

verwendet werden, um die Ableitung von ${}\arccos$ zu bestimmen.

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