Differenzierbar/D in R/Umkehrfunktion/Fakt

Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien  ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$  Intervalle und sei

$f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$

eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$

Es sei ${}f$ in  ${}a\in D$  differenzierbar mit  ${}f'(a)\neq 0$. 

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in  ${}b:=f(a)$  differenzierbar mit

${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen