Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^2 durch t^2-1/Aufgabe/Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen

$h(y)=\frac{1}{y^2},$

davon ist

$H(y)=-y^{-1}$

eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

$H^{-1}(u)=-u^{-1}.$

Wir setzen weiter

$g(t)=\frac{t}{t^2-1}.$

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

$\frac{t}{t^2-1}=\frac{a}{t-1}+\frac{b}{t+1}.$

Daraus ergibt sich die Bedingung

$t=a(t+1)+b(t-1)$

und daraus

$a=b=\frac{1}{2}.$

Also ist

$G(t)=\frac{1}{2}\ln (t+1)+\frac{1}{2}\ln (t-1)$

eine Stammfunktion von $g(t)$. Daher ist

$y(t)=\frac{-2}{\ln (t-1)+\ln (t+1)}$

eine Lösung, die für  $t>1$  definiert ist und für die  $y(t)<0$ 

gilt.

Zur gelösten Aufgabe