Differentialgleichung/Uneindeutigkeit/v' ist 3v^(2 durch3)/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=3v^{2/3}\text{ mit }v(0)=0$

zum zeitunabhängigen Vektorfeld

$f:ℝ⟶ℝ,v⟼3v^{2/3}=3\sqrt[3]{v^2}.$

Offensichtlich gibt es die stationäre Lösung

$h(t)=0,$

aber auch

$g(t)=t^3$

ist eine Lösung, wie man durch Nachrechnen sofort bestätigt. Aus diesen beiden Lösungen kann man sich noch weitere Lösungen basteln. Es seien dazu  $a<b$  reelle Zahlen. Dann ist auch

$\phi (t)=\{\begin{array}{c}(t-a{)}^3\text{ für }t<a,\\ 0\text{ für }a\le t\le b,\\ (t-b{)}^3\text{ für }t>b,\end{array}$

eine Lösung. D.h. es gibt Lösungen, bei denen das Teilchen beliebig lange (im Zeitintervall von $a$ nach $b$) ruht und danach (und davor) sich bewegt. Sobald sich das Teilchen in einem Punkt $\ne 0$ befindet, ist der Bewegungsablauf lokal eindeutig bestimmt.