Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als

mit und

an. Es ist

und

Damit ist

was zur Bedingung

führt. Man beachte, dass der Term der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ist. Wenn ist, so ist dieser Wert . Das heißt, dass in der linken Seite nur dort vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von zu festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von festgelegt.

Wenn ist, so ist eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und der rechte Summand verschwindet. Es ist

und es verbleibt links

Der rechte Summand hat dabei den Grad und die Gleichsetzung mit legt den obersten Koeffizienten fest u.s.w.

Wenn ist, so ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und somit ist auch . Also verbleibt links lediglich

Auch das hat eine eindeutige Auflösung.