Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Rechte Seite/Ansatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als

${}y(t)=f(t)e^{ct}\,$

mit ${}f(t)=t^{d}q(t)$ und

${}q(t)=b_{n}t^{n}+\cdots +b_{1}t+b_{0}\,$

an. Es ist

${}y'(t)={\left(f(t)e^{ct}\right)}'=(cf(t)+f'(t))e^{ct}\,$

und

${}{\begin{aligned}y^{\prime \prime }(t)&={\left((cf(t)+f'(t))e^{ct}\right)}'\\&=(cf'(t)+f^{\prime \prime }(t)+c^{2}f(t)+cf'(t))e^{ct}\\&=(f^{\prime \prime }(t)+2cf'(t)+c^{2}f(t))e^{ct}.\end{aligned}}$

Damit ist

${}y^{\prime \prime }+ay'+by={\left(f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)+(c^{2}+ac+b)f(t)\right)}e^{ct}\,,$

was zur Bedingung

${}f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)+(c^{2}+ac+b)f(t)=p(t)\,$

führt. Man beachte, dass der Term ${}c^{2}+ac+b$ der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${}c$ ist. Wenn ${}d=0$ ist, so ist dieser Wert ${}\neq 0$. Das heißt, dass in der linken Seite nur dort ${}t^{n}$ vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von ${}q$ zu ${}t^{n}$ festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von ${}q$ festgelegt.

Wenn ${}d=1$ ist, so ist ${}c$ eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und der rechte Summand verschwindet. Es ist

${}2c+a\neq 0\,$

und es verbleibt links

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(t)+(2c+a)f'(t)&=(tq(t))^{\prime \prime }+(2c+a)(tq(t))'\\&=(q(t)+tq'(t))^{\prime }+(2c+a)(q(t)+tq'(t))\\&=q'(t)+q'(t)+tq^{\prime \prime }(t)+(2c+a)(q(t)+tq'(t)).\end{aligned}}$

Der rechte Summand hat dabei den Grad ${}n$ und die Gleichsetzung mit ${}p(t)$ legt den obersten Koeffizienten fest u.s.w.

Wenn ${}d=2$ ist, so ist ${}c$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und somit ist auch ${}2c+a=0$. Also verbleibt links lediglich

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(t)&=(t^{2}q(t))^{\prime \prime }\\&=(2tq(t)+t^{2}q'(t))^{\prime }\\&=2q(t)+2tq'(t)+2q'(t)+t^{2}q^{\prime \prime }(t)\\&=2q(t)+(2t+2)q'(t)+t^{2}q^{\prime \prime }(t).\end{aligned}}$

Auch das hat eine eindeutige Auflösung.

Zur bewiesenen Aussage