Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra und sei ${}E\colon R\rightarrow R$ eine ${}K$-lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}E$ ist ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$.
2. Für beliebige Elemente ${}f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ gilt

   ${}{\begin{aligned}E(f_{0}\cdots f_{n})&=\sum _{s=1}^{n+1}(-1)^{s+1}\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=s}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{0,\ldots ,n\},\,I\neq \emptyset }(-1)^{{\#\left(I\right)}+1}\prod _{i\in I}f_{i}\cdot E{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen