Differentialoperator/R/Unendlich oft differenzierbar/Polynomial/Aufgabe/Kommentar

Bei dieser Aufgabe machen wir die Beobachtung, dass wir den Ableitungsoperator formal in ein Polynom einsetzen können und daraus einen neuen Operator erhalten, d.h. eine lineare Abbildung von ${}M$ in sich selbst.

Wir wissen bereits, dass der Ableitungsoperator ${}D$ eine lineare Abbildung auf ${}M$ ist, denn für differenzierbare Funktionen ${}f,g\in M$ und ${}c\in \mathbb {R}$ gilt ${}D(f+g)=(f+g)'=f'+g'=D(f)+D(g)$ sowie ${}D(cf)=cf'=cD(f)$ nach den bekannten Ableitungsregeln. Die Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen ist ebenfalls wieder linear, wie zum Beispiel ${}D\circ D=D^{2}$, also zweifaches Ableiten, oder mehrfaches Ableiten ${}D^{n}$. Gleiches gilt für die Summe linearer Abbildungen. Somit können wir den formalen Ausdruck ${}P(D)$ sinnvoll als lineare Abbildung interpretieren.

Wir haben soeben begründet, dass ${}P(D)$ für jedes Polynom ${}P$ eine lineare Abbildung ist. Für das konkret vorliegende Polynom ${}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3$ könnten wir dies auch nachweisen, indem wir ${}P(D)(f+g)$ und ${}P(D)(cf)$ für beliebiges ${}f,g\in M,c\in \mathbb {R}$ mit Hilfe der Ableitungsregeln umformen.

Was ergibt sich nun, wenn wir die lineare Abbildung ${}P(D)$ auswerten an den Funktionen ${}x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x$?

Zur kommentierten Aufgabe