Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Invarianter Differentialoperator/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Äquivalenz beruht dadrauf, dass die letzte Gleichheit zur Identität

${}{\bar {E}}\circ d^{n}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\circ d^{n}\,$

äquivalent ist, und diese wiederum wegen

${}\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\circ d^{n}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ d^{n}\circ {\varphi }^{-1}\,$

zu

${}E=\varphi \circ E\circ {\varphi }^{-1}\,$

äquivalent ist.

Es sei nun (2) erfüllt und ${}u\in {\left(P_{S{|}K}^{n}\right)}^{G}$. Dann ist

${}\varphi ({\overline {E}}(u))=\varphi ({\overline {E}}({\overline {\varphi }}^{-1}(u)))={\overline {E}}(u)\,,$

also ist ${}E(u)$ invariant.

Wir argumentieren im Fall von Integritätsbereichen von endlichen Typ über dem Quotientenkörper und setzen ${}E$ als

${}E=\sum f_{\nu }\partial ^{\nu }\,$

an, wobei die Variablenmenge zu ${}K$ gehöre. Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}K$ nach ${}K$ abgebildet wird, und es ist ${}f_{\nu }\in K$ zu zeigen. Nehmen wir an, dies sei nicht der Fall. Dann können wir die Teilsumme der Summanden, bei denen die Koeffizientenfunktionen zu ${}K$ gehören, abziehen und erhalten einen Operator, bei dem keine Koeffizientenfunktion zu ${}K$ gehört. Es sei ${}\nu$ ein minimales Tupel. Dann ist

${}E(x^{\nu })=\nu !f_{\nu }\,,$

da ja für alle anderen beteiligten Monome ${}\partial ^{\mu }(x^{\nu })=0$ gilt, und ${}K$ wird nicht nach ${}K$ abgebildet.

Zur bewiesenen Aussage