Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Invarianter Differentialoperator/Charakterisierung/Fakt

Es sei ${}S$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}S$ als Gruppe von ${}K$-Algebrahomomorphismen operiere. Für einen Differentialoperator ${}E\colon S\rightarrow S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Der Operator ${}E$ ist ${}G$-invariant.
2. Die zugehörige Linearform

   ${\bar {E}}\colon P_{S{|}K}^{n}\longrightarrow S$

   erfüllt die Eigenschaft

   ${}{\bar {E}}=\varphi \circ {\bar {E}}\circ {\bar {\varphi }}^{-1}\,$

   für alle ${}\varphi \in G$.

3. Die zugehörige Linearform

   ${\bar {E}}\colon P_{S{|}K}^{n}\longrightarrow S$

   bildet den Fixmodul ${}{\left(P_{S{|}K}^{n}\right)}^{G}$ auf den Fixring ${}S^{G}$ ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen