Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Quotientenversion/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage

{}g(a)\neq g(b)\,

folgt aus Fakt. Wir betrachten die Hilfsfunktion

{}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.

Es ist

{}{\begin{aligned}h(a)&=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(a)\\&={\frac {f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}\\&={\frac {f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}}\\&=f(b)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(b)\\&=h(b).\end{aligned}}

Also ist ${}h(a)=h(b)$ und Fakt liefert die Existenz eines ${}c\in {]a,b[}$ mit

{}h'(c)=0\,.

Umstellen ergibt die Behauptung.