Differenzierbar/D in R/Über Limes/Punkt und global/Definition

Differenzierbarkeit

Sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Die Funktion ${}f$ heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt ${}a\in D$ differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Funktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto f'(a),$

die Ableitung von ${}f$.