Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen,  $a\in D$  ein Punkt und

$f,g:D⟶𝕂$

Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.

1. Die Summe $f+g$ ist differenzierbar in $a$ mit

   $(f+g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)+g^{\prime }(a).$

2. Das Produkt $f\cdot g$ ist differenzierbar in $a$ mit

   $(f\cdot g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a).$

3. Für  $c\in 𝕂$  ist auch $cf$ in $a$ differenzierbar mit

   $(cf{)}^{\prime }(a)=c{f}^{\prime }(a).$

4. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $1/g$ differenzierbar in $a$ mit

   $\left(\frac{1}{g}\right)(a)=\frac{-g^{\prime }(a)}{(g(a){)}^2}.$

5. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit

   $\left(\frac{f}{g}\right)(a)=\frac{f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{(g(a){)}^2}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen