Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wir schreiben ${}f$ bzw. ${}g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a).$

Summieren ergibt

$f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a).$

Dabei ist die Summe ${}r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.
(2). Wir gehen wieder von

$f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)$

und

$g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)$

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

${}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}$

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert ${}0$ für ${}x=a$.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar ist mit Ableitung ${}0$.
(4). Es ist

${\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.$

Da ${}g$ nach Fakt stetig in ${}a$ ist, konvergiert für ${}x\rightarrow a$ der linke Faktor gegen ${}-{\frac {1}{g(a)^{2}}}$ und wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ in ${}a$ konvergiert der rechte Faktor gegen ${}g'(a)$.
(5) folgt aus (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage