Beweis
(1). Wir schreiben
bzw.
mit den in
Fakt
formulierten Objekten, also
-
![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d8e5719f01bb2908781b5780aa174e849b9b26)
und
-
![{\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac5b93507d98218f295fecb53223b2aaadd4985)
Summieren ergibt
-
![{\displaystyle {}f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7522ba6ea67c3df4ef0835140a90119cf2eed00)
Dabei ist die Summe
wieder stetig in
mit dem Wert
.
(2). Wir gehen wieder von
-
![{\displaystyle {}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d8e5719f01bb2908781b5780aa174e849b9b26)
und
-
![{\displaystyle {}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f38aa82a197bb157951afdc6004d4d87f93edf)
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)g(x)&=(f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a))(g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a))\\&=f(a)g(a)+(sg(a)+{\tilde {s}}f(a))(x-a)\\&\,\,\,\,\,+(f(a){\tilde {r}}(x)+g(a)r(x)+s{\tilde {s}}(x-a)+s{\tilde {r}}(x)(x-a)+{\tilde {s}}r(x)(x-a)+r(x){\tilde {r}}(x)(x-a))(x-a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a4ea48f054b326c6cfcffc8e21ee372507e29e)
Aufgrund von
Fakt
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert
für
.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung
ist.
(4). Es ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{g(a)}}}{x-a}}={\frac {-1}{g(a)g(x)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e4307c07b326b8368f49478d01f96fbbbba6b0)
Da
nach
Fakt
stetig in
ist, konvergiert für
der linke Faktor gegen
und wegen der Differenzierbarkeit von
in
konvergiert der rechte Faktor gegen
.
(5) folgt aus (2) und (4).