Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Beweis
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
Beweis
(1). Wir schreiben bzw. mit den in Fakt formulierten Objekten, also
und
Summieren ergibt
Dabei ist die Summe wieder stetig in mit dem Wert .
(2). Wir gehen wieder von
und
aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
Aufgrund von
Fakt
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für
.
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar mit Ableitung ist.
(4). Es ist
Da nach
Fakt
stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen .
(5) folgt aus (2) und (4).