Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Wir schreiben bzw. mit den in Fakt formulierten Objekten, also

und

Summieren ergibt

Dabei ist die Summe wieder stetig in mit dem Wert .
(2). Wir gehen wieder von

und

aus und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Fakt für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .
(3) folgt aus (2), da eine konstante Funktion differenzierbar ist mit Ableitung .
(4). Es ist

Da nach Fakt stetig in ist, konvergiert für der linke Faktor gegen und wegen der Differenzierbarkeit von in konvergiert der rechte Faktor gegen .
(5) folgt aus (2) und (4).

Zur bewiesenen Aussage