Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe/Lösung

a) Wir betrachten die Abbildung

H : M ⟶ ℝ^{3}, f ⟼ (f (0), f^{'} (0), f^{''} (1)) .

Zwei Funktionen $f$ und $g$ stehen genau dann in dieser Relation zueinander, wenn ihre Bilder unter $H$ übereinstimmen. Daher liegt eine Äquivalenzrelation vor (und $H$ beschreibt die Äquivalenzklassenbildung).

b) Das Polynom

a + b x + \frac{c}{2} x^{2}

wird unter $H$ auf $(a, b, c)$ abgebildet, sodass dieses Polynom diese Klasse repräsentiert.

c) Es sei $f_{1} \sim g_{1}$ und $f_{2} \sim g_{2}$ . Es ist $(f_{1} + f_{2}) \sim (g_{1} + g_{2})$ zu zeigen. Dies folgt aber sofort aufgrund der Additivität der Ableitung.

d) Wir betrachten $f_{1} = g_{1} = x$ und $f_{2} = x$ und $g_{2} = x^{3} - 3 x^{2} + x$ . Offenbar ist $f_{1} \sim g_{1}$ . Die relevanten Werte für $f_{2}$ sind wegen $f_{2} = x, {f_{2}}^{'} = 1, f_{2}^{''} = 0$ einfach

H (f_{2}) = (0, 1, 0) .

Für $g_{2}$ ergibt sich $g_{2} = x^{3} - 3 x^{2} + x, {g_{2}}^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 1, g_{2}^{''} = 6 x - 6$ . Daher ist

H (g_{2}) = (0, 1, 0),

sodass $f_{2} \sim g_{2}$ ist. Wir behaupten, dass $f_{1} f_{2}$ und $g_{1} g_{2}$ nicht äquivalent sind. Es ist $f_{1} f_{2} = x^{2}$ mit den Ableitungen $(x^{2}, 2 x, 2)$ und daher ist

H (f_{1} f_{2}) = (0, 0, 2) .

Für $g_{1} g_{2} = x (x^{3} - 3 x^{2} + x) = x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ hat man die Ableitungen $(x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}, 4 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x, 12 x^{2} - 18 x + 2)$ und daher ist

H (g_{1} g_{2}) = (0, 0, - 4) \neq H (f_{1} f_{2}) .

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