Differenzierbare Funktion/Höhere Ableitung/Positiv/Nullstellen/Aufgabe/Lösung

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Wir zeigen die Aussage durch Induktion über . Bei bedeutet die Voraussetzung einfach, dass selbst überall positiv ist und damit keine Nullstelle besitzen kann.

Sei die Aussage nun für bewiesen und sei eine -fach stetig differenzierbare Funktion, deren -te Ableitung überall positiv ist. Das bedeutet für die erste Ableitung , dass deren -te Ableitung immer positiv ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt daher höchstens Nullstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist dann nach dem Zwischenwertsatz immer positiv oder immer negativ und das gilt auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle. Es gibt also höchstens Intervalle, auf denen im Innern positiv oder negativ ist. Dies bedeutet wieder für , dass es höchstens Intervalle gibt, auf denen streng wachsend oder streng fallend ist. Auf einem solchen Intervall kann höchstens eine Nullstelle besitzen, so dass höchstens Nullstellen besitzt.