Beweis
Es sei zunächst 
konvex und seien zwei Punkte
aus 
gegeben. Es sei
![{\displaystyle {}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0b133363d20a27f8992d943e5dacad50ae24ba)
die lineare Funktion, die 
und 
verbindet. Aufgrund der Konvexität ist
für alle
![{\displaystyle {}x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda0a4b129005203d4c9b056c7aa53a1bbbe2840)
.
Für die Differenzenquotienten gilt daher
Durch Übergang zu den Limiten für 
bzw. 
folgt
-
Es sei nun als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte
aus mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von
und
nicht vollständig oberhalb des Graphen von verläuft. Es gibt also ein
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
mit
,
wobei wieder 
die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu 
können wir
und
annehmen. Nach dem
Mittelwertsatz
gibt es Punkte
![{\displaystyle {}s\in [a,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec5da91590c7e4ff0f2704cf1ea553953be309f)
und
![{\displaystyle {}t\in [c,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b85c9ea1ff18b53b4fa7d6c374445731a6cebec)
mit
und
,
sodass 
nicht wachsend ist.
