Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Sei zunächst konvex und seien zwei Punkte aus gegeben. Es sei die lineare Funktion, die und verbindet. Aufgrund der Konvexität ist für . Für die Differenzenquotienten gilt daher

Durch Übergang zum Limes für bzw. folgt


Sei nun als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte aus gegeben mit der Eigenschaft, dass die verbindende Gerade von und nicht vollständig oberhalb des Graphen von verläuft. Es gibt also ein mit , wobei wieder die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu können wir und annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte und mit und , so dass nicht wachsend ist.

Zur bewiesenen Aussage