Differenzierbare Funktion/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Ableitung/Differenzenquotient/Aufgabe/Lösung

Für ${}h\neq 0$ ist

${}{\begin{aligned}{\frac {f(\zeta z+h)-f(\zeta z)}{h}}&={\frac {f(\zeta z+\zeta {\frac {h}{\zeta }})-f(\zeta z)}{h}}\\&={\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\zeta {\frac {h}{\zeta }}}}\\&={\frac {1}{\zeta }}{\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\frac {h}{\zeta }}}.\end{aligned}}$

Für ${}h\rightarrow 0$ ist auch ${}{\frac {h}{\zeta }}\rightarrow 0$ und daher geht der Ausdruck ${}{\frac {f(z+{\frac {h}{\zeta }})-f(z)}{\frac {h}{\zeta }}}$ gegen ${}f'(z)$. Somit gilt

${}f'(\zeta z)=\zeta ^{-1}f'(z)=\zeta ^{n-1}f'(z)\,.$

Zur gelösten Aufgabe