Differenzierbare Funktionen/Größer und Ableitung größer/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=f(x)-g(x).$

Nach den Voraussetzungen ist ${}h$ differenzierbar, es ist  ${}h(a)\geq 0$  und es ist  ${}h'(x)\geq 0$  für alle  ${}x\geq a$.  Wir müssen zeigen, dass  ${}h(a)\geq 0$  für alle  ${}x\geq a$  ist. Nehmen wir also an, dass es ein  ${}x>a$  mit  ${}h(x)<0$  gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein  ${}c\in [a,x]$  mit

${}h'(c)={\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\,.$

Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe