Differenzierbare Funktionen/Größer und Ableitung größer/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto h(x)=f(x)-g(x).$

Nach den Voraussetzungen ist ${}h$ differenzierbar, es ist ${}h(a)\geq 0$ und es ist ${}h'(x)\geq 0$ für alle ${}x\geq a$. Wir müssen zeigen, dass ${}h(a)\geq 0$ für alle ${}x\geq a$ ist. Nehmen wir also an, dass es ein ${}x>a$ mit ${}h(x)<0$ gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es ein ${}c\in [a,x]$ mit

${}h'(c)={\frac {h(x)-h(a)}{x-a}}\,.$

Da diese Zahl negativ ist, ergibt sich ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe