Differenzierbare Kurve/Kurvenpunkt mit minimalem Abstand/Senkrecht/Aufgabe/Kommentar

Die zu zeigende Aussage besagt, dass der Richtungsvektor der Kurve in Punkt ${}f(t_{0})$ orthogonal steht zur Richtung, die von ${}f(t_{0})$ zum Punkt ${}P$ zeigt, falls in ${}f(t_{0})$ der Abstand zu ${}P$ minimiert wird. Anschaulich ist dies naheliegend, weil andernfalls durch kleine Störung an ${}t$ ein Punkt auf der Kurve erreicht wird, der noch näher an ${}P$ liegt: Zum Beispiel sollte dies für ${}f(t+\epsilon )$ oder ${}f(t-\epsilon )$ der Fall sein, wenn ${}\epsilon >0$ eine sehr kleine positive Zahl ist.

Um nun die Aussage zu zeigen, können wir uns von zwei Seiten nähern. Wir betrachten zunächst die Schlussfolgerung. Die Aussage, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, lässt sich formulieren als

$\langle P-f(t_{0}),f'(t_{0})\rangle =\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t_{0}))f_{i}'(t_{0})=0,$

da wir mit einem euklidischen Skalarprodukt arbeiten. Hierbei sollen ${}P_{i},f_{i}$ die Komponenten von ${}P$ bzw. ${}f_{i}$ bezüglich einer Orthogonalbasis, zum Beispiel der Standardbasis, bezeichnen.

Andererseits ist die Zuordnung ${}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto d(P,f(t)),$ eine differenzierbare Funktion. Nach Fakt wissen wir, dass die Ableitung einer solchen Funktion in einem Minimum verschwindet. Es bleibt also die Ableitung von

$d(P,f(t))=\|P-f(t)\|=\left(\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t))^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

im Punkt ${}t_{0}$ zu bestimmen. Dies ist eine gute Übung, um die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, zu wiederholen.

Dabei muss man das Summenzeichen wegen der Additionsregel nicht auflösen. Wie schließt man nun aus dem ermittelten Wert der Ableitung darauf, dass das zuvor berechnete Skalarprodukt Null wird? Dabei sollte man auch den Fall beachten, dass ${}P$ eventuell auf der Kurve liegt und somit ${}P-f(t_{0})=0$ ist.

Zur kommentierten Aufgabe