Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung

In der Situation von Fakt erhält man nicht nur eine nullstellenfreie Volumenform, sondern auch eine Orientierung auf jedem Tangentialraum und überhaupt eine orientierte Mannigfaltigkeit. Man definiert die Orientierung auf $T_{P}M$ dadurch, dass man festlegt, dass eine Basis $v_1,\dots ,v_m$ die Orientierung repräsentiert, wenn die erweiterte Basis $\mathrm{Grad}{\phi }_1(P),\dots ,\mathrm{Grad}{\phi }_{\ell }(P),v_1,\dots ,v_m$ die Standardorientierung des ${ℝ}^n$ repräsentiert. Diese Festlegung hängt von $\phi$ ab. Wenn man beispielsweise $\phi$ durch $-\phi$ ersetzt, so ändert sich bei ungeradem $\ell$ die Orientierung.