Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt

Es sei $G \subseteq ℝ^{n}$ offen und sei

φ : G ⟶ ℝ^{ℓ}

(mit $m = n - ℓ \geq 0$ ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0 \in ℝ^{ℓ}$ regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\overset{m}{⋀} T_{P} M ⟶ ℝ, v_{1} \land \dots \land v_{m} ⟼ det (Grad φ_{1} (P), \dots, Grad φ_{ℓ} (P), v_{1}, \dots, v_{m}),$

in jedem Punkt $P \in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf $M$ gegeben ist.