Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt/Beweis

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Beweis

Bei dieser Abbildung werden die Vektoren und die Gradienten als Vektoren in aufgefasst. Nach Aufgabe und nach Fakt ist die Abbildung wohldefiniert und linear. Der Ausgangsraum der Abbildung ist wie der Zielraum eindimensional. Es sei eine Basis von

Da die Abbildung regulär ist, sind die Gradienten untereinander linear unabhängig, und wegen der Orthogonalitätsbeziehung erst recht linear unabhängig zu den . Daher liegt insgesamt eine Basis des vor, so dass nach Fakt die Determinante ist. Die Abhängigkeit dieser Volumenform vom Basispunkt ist stetig, wie aus der Stetigkeit der Gradienten, der Stetigkeit der Determinante und dem Satz über implizite Abbildungen folgt.

Zur bewiesenen Aussage