Es sei G ⊆ C n {\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}} offen und φ : G → C {\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {C} }} eine im Punkt P ∈ G {\displaystyle {}P\in G} reell-differenzierbare Abbildung. Schreibe φ = g + i h {\displaystyle {}\varphi =g+{\mathrm {i} }h} mit reellwertigen Funktionen g , h : G → R {\displaystyle {}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R} } . Es seien weiter z j = x j + i y j {\displaystyle {}z_{j}=x_{j}+{\mathrm {i} }y_{j}} , j = 1 , … , n {\displaystyle {}j=1,\ldots ,n} , die Koordinaten.
Dann ist φ {\displaystyle {}\varphi } genau dann in P {\displaystyle {}P} komplex-differenzierbar, wenn
für alle j = 1 , … , n {\displaystyle {}j=1,\ldots ,n} gilt.
offen
und
eine im Punkt
reell-differenzierbare Abbildung. Schreibe 
mit reellwertigen
Funktionen
.
Es seien weiter 
, 
, die Koordinaten.
genau dann in 
komplex-differenzierbar, wenn
gilt.
