Beweis
Angenommen, es gelte
-
und
-
mit linearen Abbildungen und und mit im Punkt stetigen Funktionen
mit
.
Wir müssen
zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab
(da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint)
und erhalten die Gleichung
-
Daher müssen wir zeigen, dass die
(konstante)
Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ihre einzige lineare Approximation ist.
Wir nehmen daher an, dass
-
gilt, wobei linear und eine in stetige Funktion mit
ist. Wenn nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor
mit
.
Dann gilt für
-
Dies impliziert, dass
für
gilt. Die Norm von ist daher konstant gleich
.
Also gilt
, ein Widerspruch.