Erste Ideen

Bei dieser Modellierung sollen die Schadstoffbelastungen in der Umgebung eines Kreisverkehrs und einer Kreuzung miteinander verglichen werden. Dabei wird uns die Frage begleiten: Sorgt ein Kreisverkehr dafür, dass die Schadstoffbelastung in der unmittelbaren Umgebung verringert wird?

mögliche Ansatzpunkte:

Wie lange hält sich ein Verkehrsmittel im Durchschnitt zu Stoßzeiten an einer Kreuzung bzw. an einem Kreisel auf?
Welche Kosten und welcher Zeitaufwand sind mit einem Umbau verbunden?
Wann werden die Daten erhoben? Gibt es bestimmte Stoßzeiten aufgrund der Lage der Kreuzung bzw. des Kreisels?
Wie wird die Schadstoffkonzentration am Ort bestimmt?
Entstehen durch einen Umbau neue Risiken?

Fragestellung

Aufgrund der begrenzten Zeit wurde sich dazu entschieden, dass lediglich die Diffusion von Schadstoffen an einer Kreuzung mit der an einem Kreisel verglichen wird, ohne dass zuvor reale Werte aufgenommen wurden. Dafür wurde angenommen, dass an der Kreuzung bzw. am Kreisel jeweils 8 Autos stehen, die als vereinfachte Annahme alle die gleiche Menge an Schadstoffen ausstoßen.

Die Fragestellung, mit der sich diese Modellierung also beschäftigt lautet:

Wie unterscheiden sich die Diffusionen des Schadstoffausstoßes von acht Autos an einer Kreuzung und an einem Kreisel?

Modellierung mit Tabellenkalkulationsprogramm

Für die Modellierung werden zunächst folgende Annahmen gemacht:

Kreuzung bzw. Kreisel liegen auf "freiem Feld" : es werden zunächst keine Hindernisse, wie z.B. Häuser oder Bäume, für die Schadstoffe in der Modellierung berücksichtigt
alle Autos stoßen kontinuierlich die gleiche Menge an Schadstoffen aus
Autos "schieben" die Schadstoffe nur vor sich her
Gebiet für die Kreuzung/Kreisel ist 30x30 Kästen groß
die Verteilung der Schadstoffe erfolgt mit vorgegebener Gewichtung

Modellierung Kreuzung

Für die Modellierung der Kreuzung wird auf dem 30x30 großen Gebiet zunächst eine Kreuzung angelegt und auf diese die Autos in ihrer Startposition gebracht.

Die Lage der Autos wird mit einer 1 gekennzeichnet. Jedes Auto ist dabei zwei Zellen lang. Zum Zeitpunkt t=1 fahren die Autos in das Gebiet ein.

Um die neuen Anteile an der Schadstoffverteilung zu bestimmen, wird die Kreuzung dupliziert. Diese neue Kreuzung ist die inverse Kreuzung, das bedeutet, dass an der Stelle der Autos eine 0 steht. Die Tabelle wird dadurch erzeugt, dass man von 1 die Werte der einzelnen Zellen der eigentlichen Kreuzung abzieht.

Um zu bestimmen, wo die Autos Schadstoffe ausstoßen wird die Kreuzung ein weiteres Mal dupliziert. Die Werte dieser Tabelle werden durch das Subtrahieren der Zelle aus der Lage der Autos aus dem vorherigen Zeitschritt von der Zelle aus der Lage des Autos des momentanen Zeitschrittes bestimmt. So haben die Zellen der Tabelle eine 0, wenn dort kein Auto ist (oder die Mitte des Autos), eine 1, wenn dort der vordere Teil des Autos ist und eine -1, direkt hinter dem Auto. An der Stelle der -1 werden in einer weiteren Tabelle die Schadstoffe ausgestoßen.

In einer letzten Duplikation der Kreuzung wird die Schadstoffverteilung berechnet und dargestellt. Aus der inversen Lage der Autos wird bestimmt, dass in einer Zelle in der keine Autos sind auch kein Schadstoff ausgestoßen wird. Aus der Ausstoßkarte wird für die Moore-Nachbarschaft einer Zelle die Verteilung der Schadstoffe bestimmt. An der Stelle, an der in der Ausstoßkarte eine -1 steht, wird die vorhandene Schadstoffmenge gemäß der Gewichtung verteilt und dann 100 Schadstoffe addiert. Da die Schadstoffe durch die Autos nach vorne geschoben werden, wird mit einer Wenn Abfrage die Fahrtrichtung der Autos festgestellt. Die Schadstoffe werden dann in dieser Richtung gemäß der Gewichtung verteilt.

Um die Verteilung der Schadstoffe deutlicher zu machen, wird sie farblich codiert.

In der zeitlichen Veränderung sehen die Tabellen dann folgendermaßen aus:

zeitliche Änderung der Lage der Autos an der Kreuzung

Veränderung der Lage des Ausstoßes mit der Zeit

Als Endergebnis werden dann die einzelnen Zeitschritte aneinander gereiht, um die zeitliche Schadstoffverteilung deutlich zu machen.

Modellierung Kreisel

Für die Modellierung des Kreisels wird auf dem 30x30 großen Gebiet zunächst ein Kreisel angelegt und auf dem Gebiet die Autos in ihrer Startposition gebracht.

Danach wird genauso vorgegangen, wie auch bei der Kreuzung.

Mit der Zeit verändern sich die Tabellen wie folgend:

zeitliche Veränderung der Lage der Autos im Kreisverkehr

Als Endergebnis werden dann die einzelnen Zeitschritte aneinander gereiht, um die zeitliche Schadstoffverteilung deutlich zu machen.

Verfeinerung der Modellierung

Zur Verbesserung der Modellierung könnte man

Wind berücksichtigen (einfachste Variante: Gewichtung entsprechend verändern -> Nachteil: Wind verändert sich mit der Zeit nicht)
Schadstoffe nicht nur vor Autos herschieben, sondern auch zur Seite
Häuser/ Bäume berücksichtigen
Verteilung nach oben (mit Tabellenkalkulation sehr arbeitsaufwändig und zeitintensiv) berücksichtigen
Farbformatierung verbessern
verschiedenen Schadstoffsausstoß verschieden Fortbewegungsmittel berücksichtigen (PKW, LKW, Bus)

Modellierung mit COMSOL

Für die Modellierung in COMSOL wurde die Anzahl der Autos auf 4 reduziert um die Rechenzeit zu reduzieren.

Sowohl für die Kreuzung, als auch für den Kreisel werden zunächst Parameter festgelegt. Diese Parameter bestimmen Länge und Breite der Autos und die Breite der Straße. Aus diesen Parametern wird dann die Größe des Gebietes und die Länge der Straßen berechnet.

Innerhalb des Gebietes müssen dann zunächst die viereckigen Autos abgerundet werden, damit diese windschnittiger sind. An die abgerundeten Autos werden dann Auspuffe angefügt.

Damit eine Kreuzung bzw. ein Kreisverkehr entstehen kann, müssen dann die beiden Straßen vereinigt werden. Danach werden alle Teile zu einem gemeinsamen Gebiet vereinigt. Von dieser Vereinigung werden dann die Autos abgezogen.

Nun wird Luft als Material zu dem gesamten Gebiet ohne die Autos hinzugefügt. Diese wird benötigt, damit die Schadstoffe ein Medium haben, in dem sie transportiert werden können. Hier findet eine Vereinfachung der realen Situation statt, da Autos keinesfalls luftdicht verschlossen sind und ein geringer Teil der Schadstoffe auch in das Auto gelangen kann.

Als nächstes wird dem System die Physik hinzugefügt. Im Falle der Schadstoffverteilung wird zum einen die laminare Strömung und zum anderen die Konvektion-Diffusions-Gleichung. Mit der laminaren Strömung wird der Wind in dem System simuliert. Dieser geht von der linken Seite des Gebiets zur rechten Seite. Als Quelle der Schadstoffe für die Konvektion-Diffusions-Gleichung werden die Auspuffe der Autos angegeben. In beiden Fällen gilt, dass die Schadstoffe im gesamten Gebiet bis auf die Autos verteilt werden können. Die obere und untere Wand des Gebiets sind Wände mit gleitender Oberfläche.

Um die Autos bewegen zu können wird nun ein deformierbares Netz auf das Gebiet gelegt und auf die einzelnen Autos. Diesen Netzen wird dann ein Bewegungsvektor zugeordnet.

Zuletzt werden Annotationen hinzugefügt, die die Schadstoffkonzentration auf den Bürgersteigen angeben.

Modellierung Kreuzung

Wie in der Modellierung im Tabellenkalkulationsprogramm werden zwei Autos bewegt, während die anderen beiden an der Kreuzung stehen.

Die Fahrt der Autos läuft nur 3 Sekunden lang, da bei längerer Fahrtzeit immer wieder Fehler angezeigt werden.

Da auch bei höheren Geschwindigkeiten Fehler auftreten, fahren die Autos leider nicht über die ganze Kreuzung.

Modellierung Kreisverkehr

Schadstoffausstoß im Kreisverkehr mit Fehler

Für die Modellierung eines Kreisverkehrs wird in die Mitte des Gebiets ein Kreis mit dem Radius eines Autos gelegt. Dieser Kreis wird mit dem Gebiet vereinigt, in dem Luft im System ist.

Aufgrund von Fehlermeldungen wird zunächst nur das obere Auto bewegt. Dafür wird die Zeit in Intervalle eingeteilt. Im ersten Zeitintervall bewegt sich das Auto geradlinig nur in negative y-Richtung. Im zweiten Intervall sollte sich das Auto in x- und y-Richtung mit einer Sinus- bzw. Cosinus-Abhängigkeit bewegen. Bei den zunächst genutzten Gleichungen dreht sich das Auto leider in die falsche Richtung, so dass es mit dem Rand der Straße kollidiert. Leider konnte dies nicht behoben werden, da bei jeder noch so kleinen Änderung nur noch Fehlermeldungen auftreten.

Für eine korrekte Modellierung der Kreisbewegung des Autos um den Kreisel müsste das Auto dann noch während der Bewegung um sich selbst gedreht werden. Auch dies konnte nicht implementiert werden, da nur Fehlermeldungen auftraten.

Theoretische Bewegung des Autos:

$y-Richtung:y(t)=6,8\cdot \sin({\frac {\pi }{2}}\cdot t)+3,2\cdot t$

$x-Richtung:x(t)=4,5\cdot \cos({\frac {\pi }{2}}\cdot t)-1,5$

Theoretische Drehung des Autos:

$y-Richtung:\sin(-{\frac {\pi }{4}}\cdot c\cdot t){\sqrt {(y-y(t))^{2}+(x-x(t))^{2}}}$

$x-Richtung:\cos(-{\frac {\pi }{4}}\cdot c\cdot t){\sqrt {(y-y(t))^{2}+(x-x(t))^{2}}}$

mit x(t) und y(t) aus der Bewegung des Autos

Aufgabenstellungen für Schüler

Je nach Klassenstufe sind verschiedene Aufgabenstellungen für Schülerinnen und Schüler möglich.

Autos an Kreuzungen und Kreisel zählen lassen und bestimmen, wie lange sich ein Auto durchschnittlich dort aufhält
Welche Vorteile haben Kreisel und Kreuzung (Expertenbefragung, fächerübergreifend: Erdkunde (Stadtplanung))?
Wie verändert sich die zeitliche Verteilung der Schadstoffe, wenn die Anfangskonzentration größer ist? Wie verändert sich die zeitliche Verteilung der Schadstoffe mit einer anderen Gewichtung? (Manipulation an vorgegebenen Tabellen)

Siehe auch