Diophantische Gleichung/Bachet/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung

${}x^{3}=y^{2}+2\,,$

das die ganzzahlige Lösung ${}(3,5)$ (und ebenso ${}(3,-5)$) besitzt. Man spricht von der Bachet-Gleichung. Wir zeigen unter Bezug auf den Ganzheitsring zu ${}{\sqrt {-2}}$, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Dies wurde ursprünglich von Euler gezeigt. Nach Aufgabe ist ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ euklidisch und insbesondere ein Hauptidealbereich.

Satz

Die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung

${}x^{3}=y^{2}+2\,$

sind ${}(3,\pm 5)$.

Beweis

Zunächst kann ${}y$ nicht gerade sein, denn dann wäre auch ${}x$ gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die ${}2$.

Wir schreiben in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ die Gleichung als

${}x^{3}=(y+{\sqrt {-2}})(y-{\sqrt {-2}})\,.$

Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme

${}(y+{\sqrt {-2}},y-{\sqrt {-2}})=(y+{\sqrt {-2}},2y,2{\sqrt {-2}})\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

folgt ${}{\sqrt {-2}},2,y\in {\mathfrak {m}}$, was wegen ${}y$ ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]$ faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von ${}x$ in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also ${}y+{\sqrt {-2}}=(a+b{\sqrt {-2}})^{3}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$. Dies ergibt die beiden Bedingungen

${}y=a^{3}-6ab^{2}\,$

und

${}1=3a^{2}b-2b^{3}=b(3a^{2}-2b^{2})\,.$

Aus der letzten Gleichung ergibt sich ${}b=1$ und ${}a=\pm 1$. Somit ist ${}y=\pm 5$.

$\Box$