Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Ein kommutativer Halbring ${}R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
   1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}0$ das neutrale Element ist.
   2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die ${}1$ das neutrale Element ist.
   3. Es gilt das Distributivgesetz, also

      ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,$

      für alle ${}a,b,c\in R$.
2. DIe Abbildung

   $F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$

   heißt ordnungsvolltreu, wenn für alle  ${}x,x'\in M_{1}$  genau dann  ${}x\leq _{1}x'$  gilt, wenn  ${}F(x)\leq _{2}F(x')$  gilt.

3. Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge ${}G/\sim _{H}$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
4. Ein Punkt  ${}v\in V$  vom Grad ${}0$ heißt isoliert.
5. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge  ${}V'=V/e$,  bei der ${}u$ und ${}v$ miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge ${}E'$ aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung ${}V\rightarrow V/e$ besteht, den Kontraktionsgraphen zu  ${}e\in G$. 
6. Ein zusammenhängender Wald heißt Baum.

Zur gelösten Aufgabe