Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
   1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
   2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
   3. Es gilt das Distributivgesetz, also

      $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

      für alle $a,b,c\in R$.
2. Die Abbildung

   $F:M_1⟶M_2,x⟼F(x),$

   heißt ordnungsvolltreu, wenn für alle  $x,x^{\prime }\in M_1$  genau dann  $x{\le }_1{x}^{\prime }$  gilt, wenn  $F(x){\le }_{2}F(x^{\prime })$  gilt.

3. Die Restklassengruppe ist die Quotientenmenge $G/{\sim }_H$ mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur.
4. Das Faseranzahltupel zu $f$ ist das aufsteigend angeordnete Zahlentupel, in dem die Zahlen

   $\mathrm{\#}(f^{-1}(y))\text{ zu }y\in M$

   stehen.

5. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge  $V^{\prime }=V/e$,  bei der $u$ und $v$ miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge $E^{\prime }$ aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung $V\to V/e$ besteht, den Kontraktionsgraphen zu $e$.
6. Ein zusammenhängender Wald heißt Baum.

Zur gelösten Aufgabe