Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.  Zeige, dass die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften besitzt.

1.  ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$. 
3. Es ist  ${}f\in {\mathfrak {m}}$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$  ist.
4. Es ist  ${}f\in R^{\times }$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$  ist.

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