Die Division mit Rest durch 
besagt, dass es zu jedem 
eindeutige Elemente 
mit 
zwischen 
und 
und mit
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gibt. Bei der Aufgabe geht es um die Frage, wie sich die Reste bei den üblichen Verknüpfungen verhalten. Sei
-
Es wäre nun zu schön, wenn der Rest von 
gleich 
wäre. Dies kann aber nicht sein, da größer als sein kann, der Rest aber immer kleiner als ist. Es gilt aber das zweitschönste, nämlich dass der Rest von gleich dem Rest von ist. Man muss also eventuell einmal abziehen. Der Grund ist einfach
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wobei die letzte Umformung bei
durchzuführen ist.
Die Menge
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besteht aus allen Vielfachen von . Um die Division durch zu studieren, betrachten wir allgemeiner die Menge
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für jedes 
. Wie kann man diese Menge charakterisieren? Was kann man über die Menge
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sagen? Insbesondere ist 
endlich oder unendlich?
Um diese Fragen zu beantworten, soll man die Bedingung
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betrachten. Es ist leicht zu sehen, dass diese Bedingung genau dann gilt, wenn 
ein Vielfaches von ist, d.h. und 
den gleichen Rest bei Division durch haben. Also gilt
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wobei der Rest von bei Division durch und diese Menge besteht aus allen Zahlen, die den Rest bei Division durch besitzen. Insbesondere ist endlich und besteht aus Elementen:
-
Außerdem ist 
die disjunkte Vereinigung der Mengen 
für 
.
Die Aussagen dieser Aufgabe besagen, dass
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für alle
, d.h. die Addition und die Multiplikation auf
induzieren die entsprechenden Verknüpfungen auf
. Mit obigen Beobachtungen kann man diese Aussagen unmittelbar zeigen. Man kann auch zeigen, dass die Menge
mit diesen Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet. Außerdem ist
genau dann ein Körper, wenn
eine Primzahl ist. Das kommt in der Vorlesung 12 dran.
