Divisionsalgorithmus/Periodenlänge/Bemerkung

Über die Periodenlänge kann man einige präzise Aussagen machen, die über Fakt  (4) hinausgehen und die wir im Moment noch nicht beweisen können. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}b$ sei auch teilerfremd zu ${}10$. Dann hängt die Periodenlänge ${}\ell$ der Division ${}a:b$ allein davon ab, welche minimale Zehnerpotenz ${}10^{k}$ mit ${}k\geq 1$ bei Division durch ${}b$ den Rest ${}1$ besitzt. Für den Fall ${}a=1$ siehe Aufgabe. Der minimale Exponent ist die Periodenlänge. Wenn ${}b=p$ eine Primzahl ist, so ist diese Periodenlänge ein Teiler von ${}p-1$. Wenn die Periodenlänge von ${}1:p$ genau ${}p-1$ ist, so gilt dies bei sämtlichen Divisionen ${}a:p$ mit ${}a$ teilerfremd zu ${}p$, und die Reihenfolge der Ziffern ist eine zyklische Vertauschung der Reihenfolge der Ziffern zu ${}1:p$. Siehe als Beispiel hierzu Aufgabe.