Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt

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Es seien natürliche Zahlen mit positiv und es seien , , und , , die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die liegen zwischen und .
  2. Die , , liegen zwischen und .
  3. Wenn für ein der Rest ist, so sind für alle auch . und .
  4. Es gibt ein und ein mit derart, dass für die Ziffern mit die Beziehung

    gilt.

  5. Wenn man statt den Divisionsalgorithmus mit ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl wohldefiniert.
  6. Bei der Division von durch eine Zehnerpotenz ist

    (was bei als zu lesen ist) und

    (was für als zu lesen ist). Die Ziffernfolge ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

  7. Der Bruch ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest gleich ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge ab einem konstant gleich ist.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen