Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt

Es seien $a,b$ natürliche Zahlen mit $b$ positiv und es seien $z_{-i}$, $i\in \mathbb{N}$, und $r_{-i}$, $i\in \mathbb{N}$, die im Divisionsalgorithmus berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die $r_{-i}$ liegen zwischen $0$ und $b-1$.
2. Die $z_{-i}$, $i\in {\mathbb{N}}_{+}$, liegen zwischen $0$ und $9$.
3. Wenn für ein $k$ der Rest  $r_{-k}=0$  ist, so sind für alle  $i>k$  auch  $z_{-i}=0$  und  $r_{-i}=0$. 
4. Es gibt ein  $k\in \mathbb{N}$  und ein  $\ell \in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $\ell <b$  derart, dass für die Ziffern mit  $i>k$  die Beziehung

   $z_{-i-\ell }=z_{-i}$

   gilt.

5. Wenn man statt $a:b$ den Divisionsalgorithmus $ma:mb$ mit  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$  ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht (wohl aber die Restefolge). Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl $\frac{a}{b}$ wohldefiniert.
6. Bei der Division von  $a=\sum _{j=0}^t{c}_{j}10^j$  durch eine Zehnerpotenz  $b=10^s$  ist

   $z_0=\sum _{j=s}^t{c}_{j}10^{j-s}$

   (was bei $t<s$ als $0$ zu lesen ist) und

   $z_{-i}=c_{-i+s}$

   (was für $-i<-s$ als $z_{-i}=0$ zu lesen ist). Die Ziffernfolge $z_{-i}$ ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.

7. Der Bruch $\frac{a}{b}$ ist genau dann ein Dezimalbruch, wenn ein Rest $r_{-i}$ gleich $0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge $z_{-i}$ ab einem $k$ konstant gleich $0$ ist.

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