Es seien
natürliche Zahlen mit
positiv und es seien
,
,
und
,
,
die im
Divisionsalgorithmus
berechneten Folgen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Die
liegen zwischen
und
.
- Die
,
,
liegen zwischen
und
.
- Wenn für ein
der Rest
ist, so sind für alle
auch
.
und
.
- Es gibt ein
und ein
mit
derart, dass für die Ziffern mit
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}z_{-i-\ell }=z_{-i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f539339e57f318911dde5fe3b1b24d003658ca55)
gilt.
- Wenn man statt
den Divisionsalgorithmus
mit
ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht
(wohl aber die Restefolge).
Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl
wohldefiniert.
- Bei der Division von
durch eine Zehnerpotenz
ist
-
![{\displaystyle {}z_{0}=\sum _{j=s}^{t-s}c_{j}10^{j-s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ffab90e1ba09f74fbe961f9adb534510270035)
(was bei
als
zu lesen ist)
und
-
![{\displaystyle {}z_{-i}=c_{-i+s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d7a617515b622d4fb7b8c775167222e0622901)
(was für
als
zu lesen ist).
Die Ziffernfolge
ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden.
- Der Bruch
ist genau dann ein
Dezimalbruch,
wenn ein Rest
gleich
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge
ab einem
konstant gleich
ist.