Drehmatrizen/360 durch n/Kreisteilungskörper/Aufgabe/Lösung

1. Es genügt die Drehmatrix zu ${}k=1$, also

   ${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},$

   da ja

   ${}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{k}\,$

   ist. Wegen ${}n\geq 3$ kann man auf diese nicht verzichten.

2. Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, der von

   ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}=\cos 360^{\circ }/n+{\mathrm {i} }\sin 360^{\circ }/n=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,$

   erzeugt wird. Wir betrachten die surjektive Abbildung

   $K_{n}\longrightarrow A,$

   die durch ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }/n}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$ gegeben ist. Diese ist wohldefiniert und bijektiv, da eine Summe

   $\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}^{i}$

   genau dann ${}0$ ist, wenn dies in der ersten Spalte gilt. Somit liegt ein ${}\mathbb {Q}$-Algebraautomorphismus vor und alle Eigenschaften übertragen sich vom Kreisteilungskörper. Insbesondere ist die Algebra kommutativ

3. und ein Körper
4. der endlichen ${}\mathbb {Q}$-Dimension ${}{\varphi (n)}$.

Zur gelösten Aufgabe