Drehmatrizen/360 durch n/Kreisteilungskörper/Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 3}$ und sei ${}\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}$. Betrachte die im Ring der reellen ${}2\times 2$-Matrizen von den Matrizen ${}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}$, ${}k=0,1,\ldots ,n-1$,

erzeugte ${}\mathbb {Q}$-Unteralgebra ${}A$.

1. Mit wie vielen Matrizen kann man ${}A$ minimal erzeugen?
2. Ist diese Algebra kommutativ?
3. Ist diese Algebra ein Körper?
4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?

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