Drehung/Konstruierbare Punkte auf sich/Mittelpunkt konstruierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}Q\neq P$ ein konstruierbarer Punkt in der Ebene und ${}Q'=\varphi (Q)$ der ebenfalls konstruierbare Bildpunkt unter der Drehung. Es ist ${}Q'\neq Q$ und die Abstände von ${}Q$ und von ${}Q'$ zu ${}P$ sind gleich. Die Verbindungsgerade zwischen ${}Q$ und ${}Q'$ ist konstruierbar und damit ist auch die Mittelsenkrechte konstruierbar. Diese verläuft durch ${}P$. Die gleiche Konstruktion mit ${}Q'$ und ${}Q''=\varphi (Q')$ liefert eine weitere konstruierbare Mittelsenkrechte, die durch ${}P$ verläuft. Der Fall, dass diese beiden Mittelsenkrechten übereinstimmen, kann nur bei

${}\beta =180^{\circ }\,$

eintreten, doch dann ist

${}P={\frac {Q+Q'}{2}}\,$

konstruierbar. Bei

${}\beta \neq 180^{\circ }\,$

ist ${}P$ der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten und daher ebenfalls konstruierbar.

b) Nach Teil a) sind die Gerade durch ${}P$ und durch ${}Q$ und die Gerade durch ${}P$ und durch ${}Q'$

konstruierbar. Zwischen ihnen befindet sich an ${}P$ der Drehwinkel ${}\beta$.

Zur gelösten Aufgabe