Drehungen/Winkel naiv/2,3/Textabschnitt

Eine Drehung der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ um den Nullpunkt um den Winkel ${}\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn bildet ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ auf ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ auf ${}{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ ab. Daher werden ebene Drehungen folgendermaßen beschrieben.

Definition

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem ${}\alpha \in \mathbb {R}$) bezüglich der Standardbasis gegeben ist, heißt Drehung.

Eine Raumdrehung ist eine lineare Abbildung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ in sich, bei der um eine Drehachse (durch den Nullpunkt) um einen bestimmten Winkel gedreht wird. Wenn der Vektor ${}v_{1}\neq 0$ die Drehachse definiert und ${}u_{2}$ und ${}u_{3}$ auf ${}v_{1}$ und aufeinander senkrecht stehen und alle die Länge ${}1$ haben, so wird die Drehung bezüglich der Basis ${}v_{1},u_{2},u_{3}$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\0&\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$

beschrieben.