Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt

Satz über die Winkelhalbierenden

Die drei Winkelhalbierenden in einem nichtausgearteten Dreieck

treffen sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt, der zu jeder Seite des Dreiecks den gleichen Abstand.

Wenn die Eckpunkte durch ${}A={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$ und die Seitenlängen mit ${}a=d(B,C),b=d(A,C),c=d(A,B)$ bezeichnet werden, so besitzt dieser Schnittpunkt die Koordinaten

${\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen