Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu ${}A$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu ${}B$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BA}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BC}}$ den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand. Darüber hinaus stimmt das Skalarprodukt von diesem Schnittpunkt mit den drei normierten Seitenvektoren überein, wie der Beweis zu Fakt zeigt. Wiederum wegen Fakt muss er dann auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch ${}A$ als

$A+s{\left({\frac {\overrightarrow {AB}}{c}}+{\frac {\overrightarrow {AC}}{b}}\right)}$

bzw.

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}.$

Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch ${}B$ führt auf

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+t{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{a}}{\begin{pmatrix}c_{1}-b_{1}\\c_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}\right)}\,.$

Die Lösung ist durch

${}s={\frac {bc}{a+b+c}}\,$

und

${}t={\frac {ac}{a+b+c}}\,$

gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {bc}{a+b+c}}{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}a_{1}(a+b+c)+b(b_{1}-a_{1})+c(c_{1}-a_{1})\\a_{2}(a+b+c)+b(b_{2}-a_{2})+c(c_{2}-a_{2})\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$

führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.

Zur bewiesenen Aussage