Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) und den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) und den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand. Darüber hinaus stimmt das Skalarprodukt von diesem Schnittpunkt mit den drei normierten Seitenvektoren überein, wie der Beweis zu Fakt zeigt. Wiederum wegen Fakt muss er dann auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch als

bzw.

Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch führt auf

Die Lösung ist durch

und

gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu

führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.