Dreieck/Winkelhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt besteht die Winkelhalbierende zu ${}A$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {AC}}$ den gleichen Abstand haben. Ebenso besteht die Winkelhalbierende zu ${}B$ aus Punkten, die zu den anliegenden Seiten(geraden) ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BA}}$ und ${}\mathbb {R} {\overrightarrow {BC}}$ den gleichen Abstand haben. Daher besitzt der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden, den es geben muss, zu allen drei Seiten den gleichen Abstand.

Zur Koordinatenbestimmung schreiben wir die Winkelhalbierende durch ${}A$ als

$A+s{\left({\frac {\overrightarrow {AB}}{c}}+{\frac {\overrightarrow {AC}}{b}}\right)}$

bzw.

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}.$

Die Gleichsetzung mit der Winkelhalbierenden durch ${}B$ führt auf

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+s{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+t{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{a}}{\begin{pmatrix}c_{1}-b_{1}\\c_{2}-b_{2}\end{pmatrix}}\right)}\,.$

Die Lösung ist durch

${}s={\frac {bc}{a+b+c}}\,$

und

${}t={\frac {ac}{a+b+c}}\,$

gegeben, da dies eingesetzt jeweils zu

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {bc}{a+b+c}}{\left({\frac {1}{c}}{\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{b}}{\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\right)}&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}a_{1}(a+b+c)+b(b_{1}-a_{1})+c(c_{1}-a_{1})\\a_{2}(a+b+c)+b(b_{2}-a_{2})+c(c_{2}-a_{2})\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{a+b+c}}{\begin{pmatrix}aa_{1}+bb_{1}+cc_{1}\\aa_{2}+bb_{2}+cc_{2}\end{pmatrix}}\,\end{aligned}}$

führt. Dies ist also der Schnittpunkt, und zwar von allen drei Winkelhalbierenden.

Zur bewiesenen Aussage