Dreistelliges Relationssymbol/Interpretation durch Gerade in Ebene/Aufgabe

Es sei $G$ ein dreistelliges Relationssymbol und $L$ die zugehörige prädikatenlogische Sprache. Es sei $I$ die Interpretation, bei der die Grundmenge die euklidische Ebene ist und $G$ durch die dreistellige Relation interpretiert wird, bei der $G(A,B,C)$ zutrifft, wenn die Punkte $A,B,C$ auf einer Geraden liegen.

1. Zeige $I\models Gxyz\leftrightarrow Gyxz$.
2. Zeige, dass im Allgemeinen nicht $I\models \mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z(Gxyz\to Gxyu)$ gelten muss.
3. Es sei $\Gamma =\{\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z(Gxyz\leftrightarrow Gyxz),\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }z(Gxyz\leftrightarrow Gxzy)\}$. Erstelle eine Ableitung für $\Gamma ⊢Gxyz\leftrightarrow Gyzx$.
4. Zeige, dass der Ausdruck $Gxyz\wedge Gxyu$ bei der gegebenen Interpretation nicht bedeutet, dass die die freien Variablen $x,y,z,u$ belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.
5. Formuliere einen Ausdruck aus $L$ in vier freien Variablen, der bei der gegebenen Interpretation besagt, dass die die freien Variablen belegenden Punkte auf einer Geraden liegen.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen