Dreistelliges Relationssymbol/Interpretation durch Gerade in Ebene/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Eigenschaft, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen, hängt nicht von der Reihenfolge der Punkte ab.
  2. Es seien verschiedene Punkte der Ebene, ein beliebiger Punkt auf der durch definierten Geraden und ein Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt. Dann ist der Vordersatz erfüllt, aber nicht der Nachsatz, und daher gilt die Implikation bei dieser Interpretation nicht.
  3. Aufgrund der Alleinführung im Antezedens gilt für beliebige Variablen die Ableitbarkeit

    Daher gilt mit Modus Ponens

    für beliebige Variablen. Insbesondere gilt

    Ebenso kann man auf

    schließen. Die Transitivität der Äquivalenz liefert

  4. Wenn und durch den gleichen Punkt interpretiert werden und durch einen Punkt und durch einen Punkt , derart, dass diese Punkte nicht auf einer Geraden liegen, so liegen dennoch und auf einer Geraden. Bei einer solchen Belegung sind und wahr, ohne dass alle Punkte auf einer Geraden liegen.
  5. Man nimmt . Die Variablen seien durch die Punkte belegt. Wenn diese Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, so liegen insbesondere je drei von ihnen auf einer (nämlich dieser) Geraden und daher gilt bei dieser Belegung. Zum Beweis der Umkehrung sei . Dies bedeutet, dass sowohl als auch als auch jeweils auf einer Geraden liegen. Wenn unter den Punkten nur zwei verschiedene Punkte vorkommen, so liegen alle Punkte auf einer Geraden. Wir können uns also auf den Fall beschränken, wo maximal zwei Punkte identisch sind. Wenn ist, so definiert dies eine eindeutige Gerade, und auf dieser Geraden müssen wegen der Gültigkeit von bzw. sowohl als auch liegen. In diesem Fall liegen alle Punkte auf einer Geraden. Sei nun . Wegen liegen auf einer Geraden.
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