Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsgruppe/Aufgabe/Lösung

Es sei $X = ζ$ und $Y = \sqrt[3]{2}$ . In $ℤ / (5) [Y]$ gilt die Faktorzerlegung

Y^{3} - 2 = Y^{3} + 3 = (Y + 2) (Y^{2} + 3 Y + 4) .

Über $(5)$ liegen daher in $R$ die drei Primideale

𝔮_{1} = (5, X^{2} + X + 1, Y - 3), 𝔮_{2} = (5, X^{2} + X + 1, Y - 3 X), 𝔮_{3} = (5, X^{2} + X + 1, Y - 3 X^{2}) .

Wir betrachten den Automorphismus, der $X$ auf $X^{2}$ und $Y$ auf sich selbst abbildet. Dieser bildet $𝔮_{1}$ auf sich selbst ab, gehört also zur Zerlegungsgruppe von $𝔮_{1}$ , und vertauscht $𝔮_{2}$ und $𝔮_{3}$ ,

gehört also nicht zu deren Zerlegungsgruppe.

Zur gelösten Aufgabe