Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsverhalten/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit der Darstellung

${}S=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}+X+1,Y^{3}-2)\,$

des Zahlbereichs. Oberhalb von ${}(5)$ wird die Faser durch

${}S/(5)S=\mathbb {Z} /(5)[X,Y]/(X^{2}+X+1,Y^{3}-2)\,$

beschrieben. In ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}3^{3}=2\,$

und dies ist die einzige dritte Wurzel aus ${}2$. Ferner ist ${}X^{2}+X+1$ irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(5)$. In ${}S/(5)S$ gibt es drei dritte Wurzeln aus der ${}2$, nämlich ${}3,3X,3X^{2}$. Diese Wurzeln entsprechen drei Primidealen oberhalb von ${}(5)$. Mehr können es nicht sein, sonst würden in den Zwischenringen mehr Primideale liegen.

Oberhalb von ${}(7)$ wird die Faser durch

${}S/(7)S=\mathbb {Z} /(7)[X,Y]/(X^{2}+X+1,Y^{3}-2)\,$

beschrieben. In ${}\mathbb {Z} /(7)$ ist

${}1^{3}=2^{3}=4^{3}=1\,,$

es gibt also drei dritte Einheitswurzeln. Hingegen besitzt die ${}2$ keine dritte Wurzel und ${}Y^{3}-2$ ist irreduzibel über ${}\mathbb {Z} /(7)$. Deshalb gibt es oberhalb von ${}(7)$ zwei Primideale. Mehr können es nicht sein, sonst würden in den Zwischenringen mehr Primideale liegen.

Für den voll zerlegten Fall brauchen wir eine Primzahl derart, dass es in ${}\mathbb {Z} /(p)$ drei dritte Einheitswurzeln und mindestens eine (und damit drei) dritte Wurzel der ${}2$ gibt. Die erste Bedingung bedeutet ${}p=1\mod 6$. Unter diesen gilt in ${}\mathbb {Z} /(31)$ die Beziehung ${}4^{3}=64=2$.

Deshalb gibt es oberhalb von ${}(31)$ sechs Primideale in ${}S$.

Zur gelösten Aufgabe