Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

φ^{*} (w_{j}^{*}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{j i} v_{i}^{*}

in $V^{*}$ . Dies kann man auf der Basis $v_{k}$ , $k = 1, \dots, n$ , überprüfen. Es ist einerseits

\begin{matrix} (φ^{*} (w_{j}^{*})) (v_{k}) & = w_{j}^{*} (φ (v_{k})) \\ = w_{j}^{*} (\sum_{r = 1}^{m} a_{r k} w_{r}) \\ = \sum_{r = 1}^{m} a_{r k} w_{j}^{*} (w_{r}) \\ = a_{j k} \end{matrix}

und andererseits ebenso

(\sum_{i = 1}^{n} a_{j i} v_{i}^{*}) (v_{k}) = a_{j k} .