Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$. Es seien ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${}m\times n$-Matrix

${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,$

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

bezüglich der Dualbasen von ${}{W}^{*}$ bzw. ${}{V}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen