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E^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    daher ist ein Fixpunkt. Die Ableitung von ist auf , daher ist im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort keine weitere Nullstelle, also ist dort

  2. Es ist

    für alle . Daher ist nach dem Mittelwertstz

    für alle . Somit ist

    was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor bedeutet.

  3. Wir betrachten den Differenzenquotienten

    Für konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle von , also gegen . Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein geben, wofür insbesondere

    gelten würde. Dann wäre

    im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.

  4. Nach Teil (1) ist auf streng fallend und daher ist , also . Dies bedeutet, dass eine durch gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in konvergieren muss. Es sei der Grenzwert, der zu gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist , also muss nach Teil (1) sein.