- Es ist
-
daher ist ein Fixpunkt. Die Ableitung von ist
auf , daher ist im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort keine weitere Nullstelle, also ist dort
-
- Es ist
-
für alle
.
Daher ist nach
dem Mittelwertstz
-
für alle
.
Somit ist
-
was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor bedeutet.
- Wir betrachten den Differenzenquotienten
-
Für konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle von , also gegen . Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein
geben, wofür insbesondere
-
gelten würde. Dann wäre
-
im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.
- Nach Teil (1) ist auf streng fallend und daher ist
,
also
.
Dies bedeutet, dass eine durch gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner
gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in konvergieren muss. Es sei der Grenzwert, der zu gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist
,
also muss nach Teil (1)
sein.