Ebene/Z mod 11/Drei Punkte/Gerade/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung

Im Vektorraum $K^2$ gibt es $121$ Elemente. Insgesamt gibt es

$121^3=1771561$

Wahlmöglichkeiten für die drei Punkte. Zwei verschiedene Punkte definieren eine eindeutige Gerade, und jede Gerade besitzt so viele Elemente wie der Körper, also $11$ Elemente. Dass die beiden zuerst gewählten Punkte übereinstimmen, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{121}$. In diesem Fall liegen alle drei Punkte auf einer Geraden. Der komplementäre Fall, dass die beiden zuerst gewählten Punkte nicht übereinstimmen, besitzt die Wahrscheinlichkeit $\frac{120}{121}$. In diesem Fall wird durch die beiden ersten Punkte eine Gerade festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt, ist dann $\frac{11}{121}=\frac{1}{11}$. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf (mindestens) einer Geraden liegen, beträgt somit

$\begin{array}{cc}\frac{1}{121}+\frac{120}{121}\cdot \frac{1}{11}& =\frac{11+120}{1331}\\ & =\frac{131}{1331}.\end{array}$

Zur gelösten Aufgabe