Ebene/Zwei Punkte identifizieren/Kein going down/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung, bei der zwei Punkte der Ebene miteinander identifiziert werden, sei

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow X$

die entsprechende Abbildung,

${}\varphi (P_{1})=\varphi (P_{2})=Q\in X\,.$

Es liegt eine Isomorphismus

${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P_{1},P_{2}\}\cong X\setminus \{Q\}\,$

vor. Es sei ${}H$ eine Gerade, die durch ${}P_{1}$, aber nicht durch ${}P_{2}$ verläuft, und ${}G$ die Bildkurve davon, die durch ${}Q$ verläuft. Es sei ${}R$ der Koordinantering zu ${}X$. Die relevanten Primideale in ${}K[X,Y]$ bzw. in ${}R$ seien einerseits ${}P_{1}=V({\mathfrak {n}}_{1})\subseteq V({\mathfrak {q}})=H$, ${}P_{2}=V({\mathfrak {n}}_{2})\not \subseteq V({\mathfrak {q}})=H$ und andererseits

${}Q=V({\mathfrak {m}})\subset G=V({\mathfrak {p}})\,.$

Unter dem ${}K$-Algebrahomomorphismus

${}R\subseteq K[X,Y]\,$

ist

${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}_{1}\cap R={\mathfrak {n}}_{2}\cap R\,$

und

${}{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R\,$

und dies sind jeweils die einzigen Urbilder. Daher lässt sich die Kette

${}{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$

nicht unterhalb von ${}{\mathfrak {n}}_{2}$ liften.