Ebene Kurve/Krümmung/Stammfunktion zu trigonometrischer Funktion/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist klar. (2) ergibt sich direkt aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Damit sind auch (3) und (4) klar, wobei sich die Bogenparametrisierung aus ${}\cos ^{2}u+\sin ^{2}u=1$ ergibt. (5). Für die Krümmung ist

${}\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)=\psi '(t)\cos \psi (t)\cos \psi (t)+\psi '(t)\sin \psi (t)\sin \psi (t)=\psi '(t)\,.$

Zur bewiesenen Aussage