Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Wir schreiben in homogener Zerlegung als

mit den homogenen Komponenten

Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung

Da eine -te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass ist. Da insbesondere unendlich ist, finden wir ein , das von allen verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen

und erhalten eine Gleichung , wo die Linearfaktoren von die Gestalt

(mit )

bzw. haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass mit einem bestimmten Vorfaktor aus vorkommt, den wir wieder durch Streckung als annehmen können. Dann hat die Gestalt Terme, in denen maximal vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, so dass in nur noch weitere Monome vom -Grad gibt.
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