Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben ${}F$ in homogener Zerlegung als

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,$

mit den homogenen Komponenten

${}F_{i}=\sum _{a+b=i}c_{a,b}X^{a}Y^{b}\,.$

Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung

${}F_{d}=c(Y-e_{1}X)\cdots (Y-e_{k}X)X^{d-k}\,.$

Da ${}c$ eine ${}d$-te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass ${}c=1$ ist. Da ${}K$ insbesondere unendlich ist, finden wir ein ${}e$, das von allen ${}e_{j}$ verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen

${\tilde {Y}}=Y-eX\,\,{\text{ und }}\,\,{\tilde {X}}=X$

und erhalten eine Gleichung ${}{\tilde {F}}$, wo die Linearfaktoren von ${}{\tilde {F}}_{d}$ die Gestalt

${}{\begin{aligned}Y-e_{j}X&=Y-eX+eX-e_{j}X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e)X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e){\tilde {X}}\end{aligned}}$

(mit $e_{j}-e\neq 0$)

bzw. ${}{\tilde {X}}=X$ haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass ${}{\tilde {X}}^{d}$ mit einem bestimmten Vorfaktor aus ${}K$ vorkommt, den wir wieder durch Streckung als ${}1$ annehmen können. Dann hat ${}{\tilde {F}}_{d}$ die Gestalt ${}{\tilde {X}}^{d}+$ Terme, in denen maximal ${}{\tilde {X}}^{d-1}$ vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, sodass in ${}{\tilde {F}}$ nur noch weitere Monome vom ${}{\tilde {X}}$-Grad ${}\leq d-1$ gibt.

Zur gelösten Aufgabe